（2011•广州一模）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R，存在正实数L，使得|f（x1）-f（x

（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，有
|f(x1)−f(x2)|＝|
1+
x21−
1+
x22|=|

x21−
x22

1+
x21+
1+
x22|=
|x1−x2|•|x1+x2|

1+
x21+
1+
x22．…2分
由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，即
|x1−x2|•|x1+x2|

1+
x21+
1+
x22≤L|x₁-x₂|．
当x₁≠x₂时，得L≥
|x1+x2|

1+
x21+
1+
x22．
∵
1+
x21＞|x1|，
1+
x22＞|x2|，且|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|，
∴
|x1+x2|

1+
x21+
1+
x22＜
|x1+x2|
|x1|+|x2|≤1．…4分
∴要使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|对任意x₁，x₂∈R都成立，只要L≥1．
当x₁=x₂时，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立．
∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分
（2）证明：①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
∴
n

k＝1|ak−ak+1|＝|a1−a2|+|a2−a3|+|a3−a4|+…+|an−an+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂