已知m个向量a1,a2.am线性相关,但其中任意m-1个都线性无关,证明

已知m个向量a1,a2.am线性相关,但其中任意m-1个都线性无关,证明
1、如果存在等式k1a1+k2a2+.+kmam=0,则这些系数k1,k2,.km或者全为0,或者全不为0
2、如果存在两个等式k1a1+k2a2+.+kmam=0,l1+l2a2+.+lmam=0,其中l1不等于0,则k1/l1=k2/l2=.=km/lm
黄晓磊 1年前 已收到1个回答 举报
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带花的仙人掌 幼苗

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用反证法
证明:假设结论不对,则k1,k2,...,km中有0也有非零数
不妨设 k1=0,k2≠0
则 由 k1α1+k2α2+…+kmαm=0
得 k2α2+…+kmαm=0
因为k2≠0,所以 α2,…,αm线性相关
这与已知任意m-1个向量都线性无关矛盾.
命题得证.

1年前 追问

11

黄晓磊 举报

第二题呢，急用

举报 带花的仙人掌

呵呵 忘了 2. 由上题知 l1,l2,...,lm 都不等于0 若 k1,k2,...,km 都等于0, 结论成立. 当 k1,k2,...,km 都不等于0时, 有 a1 = -(k2/k1)a2 - ... - (km/k1)am a1 = -(l2/l1)a2 - ... - (lm/l1)am 由于 a2,...,am 线性无关, 上式表示法唯一 即有 -(ki/k1)=-(li/l1), i=2,3,...,m 所以 ki/li = k1/l1, i=2,3,...,m 即有 k1/l1=k2/l2=.......=km/lm.
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