（2011•莆田质检）（1）如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A（-1
（2011•莆田质检）（1）如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A（-1，0），B（3，0）两点，若△ABD的面积为8．
①求抛物线C1的解析式；
②Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；
（2）如图2，将（1）中的抛物线C1向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C2，顶点为E，抛物线C1、C2相交于P点，设△PDE的面积为S，判断[St3
①求抛物线C1的解析式；
②Q是抛物线C1上的一个动点，当△QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；
（2）如图2，将（1）中的抛物线C1向右平移t（t＞0）个单位长度，得到抛物线C2，顶点为E，抛物线C1、C2相交于P点，设△PDE的面积为S，判断[S
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（1）①∵抛物线C1经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴y=a（x+1）（x+3）=a（x-1）2-4a，（1分）
∴D（1，-4a），
∵AB=4，S△ABD=8，
∴-4a=4，
∴a=-1，（2分）
所以抛物线C1为：y=-x2+2x+3，（3分）
②点C（0，3），
∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
过B作∠ABQ=45°交y轴于M，交抛物线C1于Q点，
则△QBC的内心落在x轴上，（4分）．
如图1：M（0，-3），直线BQ为：y=x-3，（5分）
设Q（n，-n2+2n+3），则-n2+2n+3=n-3，（6分）
解得：n1=-2，n2=3，（不合题意舍去）
所以Q（-2，-5）；（7分）
（2）过P作PN∥x轴与抛物线C1另一交点记为N，连接DN，过P作直线PH⊥DE于H，
如图2：由平移得：DN与PE平行且相等
由抛物线的对称性得：PD=DN，
∴PD=DE，△PDE是等腰三角形（8分）
∴点H是DE的中点，
∴H（
1/2]t+1，4），（9分）
当x=[1/2]t+1时，y=-[1/4]t2+4，
∴P（[1/2]t+1，-[1/4]t2+4），（10分）
∴PH=4-（-[1/4]t2+4）=[1/4]t2，（11分）
又∵DE=t，
∴[S
t3＝
1/2×
1
4t2•t
t3＝
1
8]为定值．（12分）
∴y=a（x+1）（x+3）=a（x-1）2-4a，（1分）
∴D（1，-4a），
∵AB=4，S△ABD=8，
∴-4a=4，
∴a=-1，（2分）
所以抛物线C1为：y=-x2+2x+3，（3分）
②点C（0，3），
∵OC=OB=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
过B作∠ABQ=45°交y轴于M，交抛物线C1于Q点，
则△QBC的内心落在x轴上，（4分）．
如图1：M（0，-3），直线BQ为：y=x-3，（5分）
设Q（n，-n2+2n+3），则-n2+2n+3=n-3，（6分）
解得：n1=-2，n2=3，（不合题意舍去）
所以Q（-2，-5）；（7分）
（2）过P作PN∥x轴与抛物线C1另一交点记为N，连接DN，过P作直线PH⊥DE于H，
如图2：由平移得：DN与PE平行且相等
由抛物线的对称性得：PD=DN，
∴PD=DE，△PDE是等腰三角形（8分）
∴点H是DE的中点，
∴H（
1/2]t+1，4），（9分）
当x=[1/2]t+1时，y=-[1/4]t2+4，
∴P（[1/2]t+1，-[1/4]t2+4），（10分）
∴PH=4-（-[1/4]t2+4）=[1/4]t2，（11分）
又∵DE=t，
∴[S
t3＝
1/2×
1
4t2•t
t3＝
1
8]为定值．（12分）
1年前
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