（2011•江门一模）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有
（2011•江门一模）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为[1/9]．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
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解题思路：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，根据甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为[1/9]，列出关于P的方程，得到甲答对题目的概率，选手甲能够进入决赛包括两种情况，这两种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量的概率，最后一个变量的概率可以用1减去其余变量的概率得到，写出分布列做出期望．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量的概率，最后一个变量的概率可以用1减去其余变量的概率得到，写出分布列做出期望．
（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，
依题意(1−p)2＝
1
9，p＝
2
3，
甲选答3道题目后进入决赛的概率为(
2
3)3＝
8
27，
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为
C23(
2
3)3•
1
3＝
8
27，
C24(
2
3)3(
1
3)2＝
16
81，
∴选手甲可进入决赛的概率P＝
8
27+
8
27+
16
81＝
64
81．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，
依题意P(ξ＝3)＝
8
27+
1
27＝
1
3，
P(ξ＝4)＝
C23(
2
3)2•
1
3•
2
3+
C23(
1
3)2•
2
3•
1
3＝
10
27，P(ξ＝5)＝
C24(
2
3)2•(
1
3)2•
2
3+
C24(
1
3)2•(
2
3)2•
点评：
本题考点： 离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．
考点点评： 本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．
1年前
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