（2002•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，ctgA=[4/3]．

解题思路：（1）由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度，通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度；然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度；
（2）设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式；
（3）根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线；然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值．

（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ctgA=[4/3]，
∴[AC/BC]=[4/3]．
又∵AB=10，AB²=AC²+BC²，
∴AC=8，BC=6．
∵∠PBC=∠A，∠PCB=∠BCA=90°，
∴△PBC∽△BAC，
∴[PC/BC]=[BC/AC]，即[PC/6]=[6/8]，
∴PC=[9/2]，
∴AP=AC-PC=[7/2]；

（2）如图1，设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．连接AO并延长AO交BC于点H．则AH是∠BAC的平分线．
根据角平分线定理知，[AB/BH]=[AC/CH]，即[10/6−CH]=[8/CH]，
∴CH=[8/3]．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC；
又∵BC⊥AC，
∴OD∥BC．
在△PBC中，[OD/BC]=[PD/PC]，即[y/6]=[PD/8−x]，则PD=
y(8−x)
6．
在△ACH中，[OD/HC]=[AD/AC]，即[y

8/3]=[PD+x/8]=

y(8−x)
6+x
8，则y=[6x/10+x]（0＜x＜8）；

（3）sinA＞

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域．