已知x，y≠kπ+[π/2]（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．

证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×[1−cos2x/2]-2×[1−cos2y/2]=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得cos2x=[1/2]cos2y；
（2）要证
2(1−tan2x)
1+tan2x=
1−tan2y
1+tan2y，只需证
1−
sin2x
cos2x
1+
sin2x
cos2x=
1−
sin2y
cos2y
2(1+
sin2y
cos2y)，
即证
cos2x−sin2x
cos2x+sin2x=
cos2y−sin2y
2(cos2y+sin2y)，即证cos²x-sin²x=[1/2]（cos²y-sin²y），只需证cos2x=[1/2]cos2y．
由（1）的结论，cos2x=[1/2]cos2y显然成立．
所以
2(1−tan2x)
1+tan2x=
1−tan2y
1+tan2y．