如图 已知线段AB=a,C为AB外一点,一AC.BC为边分别向三角形ABC的外侧做正方形ACFD和正方形BCGE,不论C

分析：（1）由正方形与垂线的性质,易证得：△DD1A∽△ACB,△EE1B∽△BCA,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得DD1与EE1的长,则可求得DD1+EE1的值；
（2）定线段AB长为定值；猜想DD1+EE1=AB；过点C作CH⊥AB,垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”,设M为DE的中点,Q为D1E1的中点,MQ=12
AB且MQ⊥AB,特殊地,当四边形DD1E1E为矩形时,以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B,所以D1E1的中点就是AB的中点．所以,不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点,此定点M恒在“点C的同侧,与AB的中点Q距离为1
2
AB长的点上”．
（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°,
∵四边形ACFD与BEGC是正方形,
∴∠DAC=∠CBE=90°,
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°,
∴∠DAD1=∠ABC,∠EBE1=∠BAC,
∴△DD1A∽△ACB,△EE1B∽△BCA,
∴DD1 4 =4 5 ,EE1 3 =3 5 ,
∴DD1=16 5 ,EE1=9 5 ；
∴DD1+EE1=5；
（2）过点C作CK⊥AB于K,
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°,
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°,
∴∠DAD1=∠ACK,∠EBE1=∠BCK,
∵AD=AC,BC=BE,
∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
∴DD1=AK,EE1=BK,
∴DD1+EE1=AB,
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,DD1+EE1的值为定值；
（3）设M为DE的中点,Q为D1E1的中点,
则：MQ=1 2 (DD1+EE1)=1 2 AB且MQ⊥AB,
当四边形DD1E1E为矩形时,以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
又∵D1A=CK=E1B,
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点,
∴此定点M恒在“点C的同侧,与AB的中点Q距离为1 2 AB长的点上”．