已知角α为锐角,求证:(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2

ō雪梨ō65 1年前 已收到3个回答 举报
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again1999 幼苗

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由柯西不等式知：(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥(1+1/√sinacosa)^2=[1+1/(√sin2a/2)]^2≥(1+√2)^2
=3+2√2
∴(1+1/sinα)(1+1/cosα)≥3+2√2

1年前 追问

6

ō雪梨ō65 举报

怎么推 √sin2a /2 > √2

举报 again1999

方法2：(1+1/sinα)(1+1/cosα)=1+1/sinα+1/cosα+1/sinacosa ∵1/sinα+1/cosα>=2/√sinacosa=2√2/√sin2a>=2√2 ∵1/sinacosa=2/2sinacosa=2/sina>=2 ∴(1+1/sinα)(1+1/cosα)=1+1/sinα+1/cosα+1/sinacosa≥3+2√2

lxm98811 幼苗

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构造函数
要证明(1+1/sina)(1+1/cosa)≥3+2√2
即证y=(1+1/sina)(1+1/cosa）
=(sinacosa+sina+cosa+1)/(sinacosa) （*）的最小值为3+2√2
令t=sina+cosa,a为锐角，则t的范围为（1，根号2]
所以2sinacosa=t^2-1
(*)转化为y=(...

1年前

2

2017621 幼苗

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3+2√2=（1+√2)的平方

1年前

0
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