有一无穷小数A=0.a(1)a(2)a(3)...a(n)a(n+1),并且a（1）是奇数,a（2）是偶数,a（3）等于
有一无穷小数A=0.a(1)a(2)a(3)...a(n)a(n+1),并且a（1）是奇数,a（2）是偶数,a（3）等于a（1）+a（2）的个位数字,a（4）等于a（2）+a（3）的个位数字…….
求证：A是有理数.
[说明：（1）,（2）,……,（n）只是序号]
求证：A是有理数.
[说明：（1）,（2）,……,（n）只是序号]
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证明 为证明A是有理数,只要证明A是循环小数即可,由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的,若某两个数字ab重复出现了,即0.…ab…ab…此小数就开始循环.
而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇数可取1,3,5,7,9；
b是偶数可取0,2,4,6,8.
所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的,在构成A的前25个奇偶数组中,至少出现两组是完全相同的,这就证得A是一循环小数,即A是有理数.
而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇数可取1,3,5,7,9；
b是偶数可取0,2,4,6,8.
所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的,在构成A的前25个奇偶数组中,至少出现两组是完全相同的,这就证得A是一循环小数,即A是有理数.
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