（2014•朝阳区二模）已知函数f（x）=e2x+1-ax+1，a∈R．

解题思路：（1）求出原函数的导函数，得到f′（0），由f′（0）=e，求得a的值；
（2）求出导函数，由导函数的正负性，求出原函数的单调区间，注意函数中含有参数a，所以要对a进行分类讨论；
（3）对f（x）≥1进行化简，用分离变量法，把a表示成关于x的一个不等式，从而构造函数g（x），求g（x）的最小值，即a≤g（x）_min．

f′（x）=2e^2x+1-a，
（1）由题意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由：f′（x）=2e^2x+1-a＞0，得x＞
1
2ln
a
2−
1
2，
∴f（x）在(
1
2ln
a
2−
1
2，+∞)上单调递增，
由：f′（x）=2e^2x+1-a＜0，得x＜[1/2ln
a
2−
1
2]，
∴f（x）在（-∞，[1/2ln
a
2−
1
2]）上单调递减，
综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，
当a＞0时，f（x）的单调递增为(
1
2ln
a
2−
1
2，+∞)，单调递减区间为（-∞，[1/2ln
a
2−
1
2]），
（3）由f（x）≥1得，e^2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤
e2x+1
x，
令g(x)＝
e2x+1
x，则g′(x)＝
(2x−1)e2x+1
x2，易知，当x＜
1
2时g′（x）＜0，当x＞
1
2时g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，
1
2)上单调递减，在(
1
2，1)上单调递增，
∴g（x）的最小值为g(
1
2)＝2e2，
∴a的取值范围为（-∞，2e²]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与导函数符号的关系，利用函数的最值解决恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．