设函数f(x)＝sinx2+cosx．

解题思路：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）令g（x）=ax-f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围．

（Ⅰ）f′(x)＝
(2+cosx)cosx−sinx(−sinx)
(2+cosx)2＝
2cosx+1
(2+cosx)2．（2分）
当2kπ−
2π
3＜x＜2kπ+
2π
3（k∈Z）时，cosx＞−
1
2，即f'（x）＞0；
当2kπ+
2π
3＜x＜2kπ+
4π
3（k∈Z）时，cosx＜−
1
2，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ−
2π
3，2kπ+
2π
3)（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间(2kπ+
2π
3，2kπ+
4π
3)（k∈Z）是减函数．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），则g′(x)＝a−
2cosx+1
(2+cosx)2=a−
2
2+cosx+
3
(2+cosx)2=3(
1
2+cosx−
1
3)2+a−
1
3．
故当a≥
1
3时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当0＜a＜
1
3时，令h（x）=sinx-3ax，则h'（x）=cosx-3a．
故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，f(x)＝
sinx
2+cosx＞
sinx
3＞ax．
当a≤0时，有f(
π
2)＝
1
2＞0≥a•
π
2．
因此，a的取值范围是[
1
3，+∞)．（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．