（2014•吉林三模）已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R

（1）当a=1时，f（x）=lnx-
1
x，
∴f′（x）=
1
x+
1
x2=
x+1
x2，x＞0．
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（x）=lnx-
a
x，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．
∴g（x）=ax-
a
x-5lnx，x＞0
∴g′（x）=a+
a
x2-
5
x=
ax2−5x+a
x2，
若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞
5x
x2+1=
5
x+
1
x，
∵
5
x+
1
x≤
5
2
1=
5
2（x=1时等号成立），
∴a＞
5
2．
（3）当a=2时，g（x）=2x-
2
x-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=（x-
m
2）²+4-
m2
4，
∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=
2x2−5x+2
x2=
(2x−1)(x−2)
x2，令g′（x）=0，
解得x₁=
1
2，x₂=2，
当0＜x＜
1
2，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当
1
2＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=
1
2处取得极大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（
1
2）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=（x-
m
2）²+4-
m2
4，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥
11−5ln2
2，
∵
11−5ln2
2＞3，故m不存在；
若m＞3时，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
实数m的取值范围：m≥8-5ln2；