如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DC

证明：
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴[BM/CM＝
AM
BM]，即BM²=AM•CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则[DM/CM＝
AM
DM]，即DM²=AM•CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M为BD的中点．
（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴[AN/NC＝
AM
PM]．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得[AN/CN＝
AM
CM]．

点评：
本题考点： 圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．

1年前

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