已知数列{an}满足：a1=3，an+1an+2an+1=3an+2，n∈N+，记bn＝an−2an+1．

解题思路：（Ⅰ）由条件先得an+1＝

3an+2

an+2

，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为[1/4]，公比为[1/4]的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an＝

1+2×4n

4n−1

，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得t≥

2+ 1 4n

4n−1

，从而可解；
（Ⅲ）由于an＝

2•4n+1

4n−1

＝2+

3

4n−1

＞2+

3

4n

，利用放缩法可证．

（Ⅰ）证明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴an+1＝
3an+2
an+2，∴an+1−2＝
an−2
an+2，an+1+1＝
4(an+1)
an+2
两式相除得bn+1＝
1
4bn，b1＝
1
4
∴数列{b_n}是首项为[1/4]，公比为[1/4]的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn＝
1
4n＝
an−2
an+1，∴an＝
1+2×4n
4n−1
由a_n≤t•4ⁿ得t≥
2+
1
4n
4n−1易得
2+
1
4n
4n−1是关于n的减函数，∴
2+
1
4n
4n−1≤
3
4，∴t≥
3
4（8分）
（Ⅲ）an＝
2•4n+1
4n−1＝2+
3
4n−1＞2+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．

考点点评： 本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．