为什么实对称矩阵可以对角化

这涉及到一系列的定理,不是在这里可以详细解答的,告诉你这些定理,并注明在同济《线性代数》第三版中的位置,你可以详细阅读,其它版本的《线性代数》可以到相应地方去找.
定理1：n阶矩阵A能与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.（p146定理4）
定理2：实对称阵A的特征值都是实数.（p147定理5）
由这个定理可以知道,实对称阵一定存在实特征向量.
定理3：实对称阵的不同特征值对应的特征向量一定是互相正交的.（p147定理6）
注：正交的向量组一定是线性无关的向量组.
定理4：实对称阵A的r重特征值λ一定有r个线性无关的特征向量.（p148定理7）
由这个定理可以知道,n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量.
结合定理1与定理4,就可以得到你需要的结论.