已知函数f（x）=lnx+（x-a）2，a∈R．

解题思路：（1）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定f（x）在[1，e]上单调递增，从而可求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）求导函数，则在区间[

1

2

，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立，可转化为2a＜2x+

1

x

在[

1

2

，2]上有解，求出右边函数的最大值，即可求实数a的取值范围．

（1）定义域为（0，+∞），
∵f′(x)＝
1
x+2x＞0，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=1…（7分）
（2）f′(x)＝
1
x+2(x−a)＝
2x2−2ax+1
x，…（9分）
由题可知，在区间[
1
2，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴2a＜2x+
1
x在[
1
2，2]上有解…（11分）
令g(x)＝2x+
1
x，则只需2a小于g（x）在[
1
2，2]上的最大值
由g′(x)＝2−
1
x2＞0知x＞

2
2，
∴g（x）在[

2
2，2]上单调递增，在[
1
2，

2
2]上单调递减，…（13分）
∴g(x)max＝max{g(2)，g(
1
2)}
又g(2)＝
9
2，g(
1
2)＝3，
故2a＜
9
2，即a＜
9
4…（15分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，区分有解与恒成立问题是关键．