证明A是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是存在实矩阵S使得A=S'S

证明：A是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是A合同与对角矩阵diag(a1,a2,...,an)
其中a1,a2,...,an都是非负数.
即存在可逆矩阵C,使得C'AC=diag(a1,a2,...,an)
所以A=(C')^-1diag(a1,a2,...,an)C^-1
=(C')^-1diag(√a1,√a2,...,√an)diag(√a1,√a2,...,√an)C^-1
=[diag(√a1,√a2,...,√an)C^-1]'[diag(√a1,√a2,...,√an)C^-1]
令S=diag(√a1,√a2,...,√an)C^-1
即得A=S'S