已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若PF₁=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是

（[1/3]，[2/5]）

．

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伊犁河上花朵

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解题思路：设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，它们公共的焦距为2c，|PF₂|=n，根据椭圆与双曲线的定义建立方程组解出a₁=5+c且a₂=5-c，得到双曲线的离心率为

c/5−c]∈（1，2），由此解出c的范围再代入椭圆离心率的表达式，利用不等式的性质加以计算，可得该椭圆的离心率的取值范围．

如图，设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，
它们公共的焦距为2c，|PF₂|=n，
∵|PF₁|=10，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．
∴由椭圆与双曲线的定义，得

10+n＝2a1
10−n＝2a2
n＝2c，解之得

a1＝5+c
a2＝5−c，
∵双曲线的离心率的取值范围为（1，2），∴1＜[c/5−c]＜2，
设[c/5−c]=x，可得c=[5x/1+x]，
从而得到椭圆的离心率e=[c/5+c]=[x/2x+1]=[1/2]-[1/4x+2]．
由1＜x＜2，可得[1/2−
1
6]＜[1/2]-[1/4x+2]＜[1/2−
1
10]，即[1

点评：
本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，在双曲线离心率的取值范围为（1，2）时求椭圆的离心率的取值范围．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程，利用不等式的基本性质求变量取值范围等知识，属于中档题．

1年前

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