数学问题抛物线C:y=x^2在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B,向量AM=1/2向量MB,点P在C上移动

第一个问题：
∵点P在抛物线y＝x^2上,∴可设点P的坐标为（m,m^2）.
对y＝x^2求导数,得：y′＝2x,∴过点P（m,m^2）的切线的斜率＝2m,
∴直线 l 的方程为y－m^2＝2m（x－m）,∴y＝2mx－m^2.
令y＝2mx－m^2中的x＝0,得：y＝－m^2,∴点B的坐标为（0,－m^2）.
令y＝2mx－m^2中的y＝0,得：2mx－m^2＝0,∴x＝m/2,∴点A的坐标为（m/2,0）.
∵向量AM＝（1/2）向量MB,∴点M是AB的一个定比分点,显然,AM/MB＝1/2,
∴由定比分点坐标公式,得：
点M的横坐标x＝（m/2）/（1＋1/2）＝m/3,∴3x＝m.
点M的纵坐标y＝－（1/2）m^2/（1＋1/2）＝－m^2/3,∴3y＝－m^2.
联立：3x＝m、3y＝－m^2,消去m,得：3y＝－（3x）^2＝－9x^2,∴y＝－3x^2.
∴满足条件的曲线D的方程是：y＝－3x^2.
第二个问题：
∵直线 l 切⊙E于P,∴⊙E的半径＝PE、PA⊥PE..
∵点E在y轴上,∴可设点E的坐标为（0,n）.
显然有：PE的斜率＝（m^2－n）/（m－0）＝－1/（2m）,∴m^2－n＝－1/2,
∴n＝1/2＋m^2.
另外,明显有：
PA＝√［（m/2－m）^2＋（0－m^2）^2］、PE＝√［（m－0）^2＋（m^2－n）^2］,
而PA＝PE,∴（m/2－m）^2＋（0－m^2）^2＝（m－0）^2＋（m^2－n）^2,
∴m^2/4＋m^4＝m^2＋（m^2－1/2－m^2）^2＝m^2＋1/4,
∴m^2＋4m^4＝4m^2＋1,∴4m^4－3m^2－1＝0,（4m＋1）（m－1）＝0,
∴m＝－1/4,或m＝1.
由m＝－1/4,得：n＝1/2＋（－1/4）^2＝9/16,
此时PE^2＝（m/2－m）^2＋（0－m^2）^2＝m^2/4＋m^4＝1/64＋1/256＝5/256.
∴此时⊙E的方程是：x^2＋（y－9/16）^2＝5/256.
由m＝1,得：n＝1/2＋1＝3/2,
此时PE^2＝（m/2－m）^2＋（0－m^2）^2＝m^2/4＋m^4＝1/4＋1＝5/4.
∴此时⊙E的方程是：x^2＋（y－3/2）^2＝5/4.
综上所述,得：满足条件的⊙E的方程是：
x^2＋（y－9/16）^2＝5/256；　或x^2＋（y－3/2）^2＝5/4.