线性代数求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角形,并写出对角形矩阵1 -2 0-2 2 -20 -2 3

|A-λE|=
1-λ -2 0
-2 2-λ -2
0 -2 3-λ
=-(1+λ)(2-λ)(5-λ).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1,(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2,(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5,(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵,且有
Q^-1AQ = diag(-1,2,5).