证明：函数f(X)=2X3+1证明：函数f(X)=2X^3+1,在（-∞,+∞）上是增函数.

令a>b
f(a)-f(b)=(2a^3+1)-(2b^3+1)
=2(a^3-b^3)
=2(a-b)(a^2+ab+b^2)
=2(a-b)[(a+b/2)^2+(3/4)b^2]
因为a>b,所以a-b>0
又因为(a+b/2)^2>=0.(3/4)b^2>=0
所以(a+b/2)^2+(3/4)b^2>=0
若要取等号则a+b/2=0且b=0
则a=b=0,不符合a>b
所以等号取不到
所以(a+b/2)^2+(3/4)b^2>0
所以2(a-b)[(a+b/2)^2+(3/4)b^2]>0
所以当a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)在（-∞,+∞）上是增函数.

设X1>X2,证明F(X1)-F(X2)>0
即证明X1^3-X2^3>0

2X^3+1-(-2X^3+1)就是正的减去负的.
4X^3 是正的 所以函数f(X)=2X^3+1，在（-∞，+∞）上是增函数。

对函数求导可得f(x)=6x^2大于等于零恒成立，故原函数在整个区间上是单调递增的