一道关于函数的高中数学题设f（x）是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x＞0时,0

一道关于函数的高中数学题
设f（x）是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x＞0时,0＜f（x）＜1.
1：求证：x∈R时恒有f（x）＞0.
2：若f（x）·f（2x-x^2)＞1,求x的范围.
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hezhi008 1年前 已收到7个回答 举报
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seafy1111 幼苗

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证明：
（1）∵m,n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n）,
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n）,
则f（0）=1
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1,
∴f（x）与f（-x）互为倒数,
∵当x＞0时,0＜f（x）＜1,
∴当x＜0时,f（x）＞1,
又由x=0时,f（0）=1
故当x∈R时,恒有f（x）＞0；
（2）
（2）
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n),
∴f（x）·f（2x-x²)=f(x+2x-x²)>1
∴由（1）中的结论可得到：
x+2x-x²>0
即x²-3x＜0
∴ x（x-3）＜0
∴ 0

1年前

4

悠然居 幼苗

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1、令m=n，则f(2m)= f²(m/2)》0
所以f(x)= f²(x/2)在实数上非负。
令n=0，m>0，
则f(m+0)= f(m) f(0)，由此可得到f(0)=1
令m=-n>0，-m<0,
则f(0)= f(m+n)= f(m)f(-m)=1，且在m>0时，<0f(m)<1
则f(-m)>1
所以x属于R时...

1年前

2

纵横天鸭 幼苗

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1.∵f(m+n)=f(m)·f(n)，取m=0，n=1，则：
f(1+0)=f(1)·f(0)
当x＞0时，0＜f（x）＜1
∴f(0)=1
同样的，取m=x，n=-x，其中x<0，则：
f(-x)·f(x)=f(0)=1
0∴x<0时，f(x)>1>0；



综合当x＞0时，0＜f...

1年前

1

tony720609 幼苗

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（1）设m=0,n=1/2; 则有：f(1/2)=f(1/2)·f(0); 所以f(0)=1;
又f(x-x)=f(0)=f(x)×f(-x)=1; 所以f(x)=1/f(-x);
则x<0时，-x>0;f(x)=1/f(-x)>0;
所以总有：x∈R时，f（x）＞0
（2）对任意的x1,x2x∈R时,若x10;恒有f（x2）=...

1年前

1

阿拉丁夜壶 幼苗

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（1）令n=0 则有f(m+0)=f(m)*f(0) 故f(0)=1
再令m=x,n=-x 则f(x)*f(-x)=f(0)=1
当x>0 时，则-x<0 此时1>f(-x)>0 故f(x)=1/f(-x)>1>0
综上所述，对于x∈R时恒有f（x）＞0
（2）因为 f（x）·f...

1年前

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杏风 幼苗

共回答了100个问题 举报

1、
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，
∴ f（x）=f（x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f²（x/2）≥0
f（x）=f（x+0）=f（x）f（0)恒成立，有f（0）=1＞0
f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x） （1）
而当x＞0时，0＜f（x）＜1，因此由（1）可得出...

1年前

0

救救我 幼苗

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（1）依题意得f（x）在x大于零时恒大于零，当x等于零时，f（x）＝(f（x）)∧2 所以f（0）＝ 1 ，则两相反数的函数值乘积为1，即互为倒数，所以x在负数范围上大于一，综合得x∈R时恒有f（x）＞0

（2)f（x）·f（2x-x^2)=f(3x-x^2)＞1,而又因f（0）=1,所以相反数对应的函数值互为倒数，所以负数的函数值大于一，所以就是3x-x^2<0,所...

1年前

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