如图,过等腰△ABC的底边BC的中点D作AC的垂线DE,交AC于E,设F是DE的中点.求证：AF⊥BE.

∵ ∠C+∠CDE=90°,∠C+∠DAC=90°
∴ ∠CDE=∠DAC
又∵ ∠DEC=∠AED=90°
∴ △DAE∽△CDE
∴ DE：CE=AE：DE
∴ DE的平方=AE·EC………………①
延长ED至G,使DG=ED （倍长中线法）
连BG
则 BG=EC,且BG//EC
∴ ∠BGE=90°
∵ EF：BG=1/2DE：EC=1/2AE：DE=AE：2DE=AE：EG
∴ △AEF∽△EGB
∴ ∠FAE=∠BED
∵ ∠BED+∠AEB=90°
∴ ∠FAE+∠AEB=90°
∴ AF⊥BE