（2014•湖北二模）已知曲线C：x2-y23=1（x＞0），A（-1，0），F（2，0）

解题思路：（1）设M点坐标为（x₀，y₀），则y02＝3(

x

2 0

−1)．由于点M为x轴上方的一点，tan∠MAF=k_MA，tan∠MFA=-k_MF，由此由正切函数的性质，能证明∠MFA=2∠MAF．
（2）设直线CD的方程为y=2x+m，代入x2−

y2

3

＝1中，得x²+4mx+m²+3=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出b的取值范围．
（3）法一：假如四点C、A、D、F共圆，圆心恰在x轴上，所以AF为外接圆的直径，由双曲线的对称性，CD⊥AF，这与k_CD=2不符，故假设错误，所以四点C、A、D、F不可能共圆于半径为[3/2]的圆．
（3）法二：假如四点C、A、D、F共圆，由圆的半径为[3/2]，得b＝

1

4

，与（2）的结论b＞4不符，故假设错误，所以四点C、A、D、F不可能共圆于半径为[3/2]的圆．

（1）证明：设M点坐标为（x₀，y₀），则有x02−

y20
3＝1，即y02＝3(
x20−1)．
由于点M为x轴上方的一点，tan∠MAF=k_MA，
tan∠MFA=-k_MF=
y0
2−x0tan2∠MAF＝
2tan∠MAF
1−tan2∠MAF＝
2kMA
1−kMA2
=
2
y0
x0+1
1−(
y0
x0+1)2＝
2(x0+1)y0
(x0+1)2−y02
=
2(x0+1)y0
(x0+1)2−3(x02−1)=
2y0
4−2x0=
y0
2−x0，
又∠MFA、2∠MAF∈（0，π），且由正切函数的性质，有∠MFA=2∠MAF，
∴∠MFA=2∠MAF．…（5分）
（2）设直线CD的方程为y=2x+m，代入x2−
y2
3＝1中，
得x²+4mx+m²+3=0，（1）
由于方程（1）有两不等正根，
设C、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则有

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查两角相等的证明，考查实数的取值范围的求法，考查四点共圆的判断与求法，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．