（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx-sinx+1（x＞0）．

（Ⅰ）∵f（x）=xcosx-sinx+1（x＞0），
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
由f′（x）=-xsinx=0，解得x=kπ，
当x∈（2kπ，（2k+1）π），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，
故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），
单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，
又f（[π/2]）=0，故x₁=[π/2]，
当n∈N^*，
∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（-1）ⁿnπ+1][（-1）ⁿ⁺¹（n+1）π+1]＜0，
且函数f（x）的图象是连续不间断的，
∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，
又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）单调递增，
因此当n=1时，有[1

x21=
4
π2＜
2/3]成立．
当n=2时，有[1

x21+
1

x22＜
1
π2(4+1)＜
2/3]．
…
[1

x21+
1

x22+…+
1

x2n＜
1
π2[4+1+
1
22+…+
1
(n-1)2]＜
1
π2[5+
1/1×2+…+
1
(n-2)(n-1)]]＜
1
π2

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．