（2012•平遥县模拟）已知函数f（x）=x2+alnx

解题思路：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+[a/x]-

2

x2

，分函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a的取值范围．

（Ⅰ）求导函数可得f′(x)＝2x−
2
x=
2(x+1)(x−1)
x（x＞0）
令f′（x）＞0，则-1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，则x＜-1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）由题意得g'（x）=2x+[a/x]-[2
x2，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则2x+
a/x]-[2
x2≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥
2/x]-2x² 在[1，+∞）上恒成立，
设Φ（x）=[2/x]-2x²，∵Φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围[0，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．