sulaimanni
幼苗
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令b{n}=a{n}-n+1/3,则b{n-1}=a{n-1}-(n-1)+1/3=a{n-1}-n+4/3,所以
b{n}=a{n}-n+1/3=[3(n-1)-2a{n-1}]-n+1/3=-2a{n-1}+2n-8/3=-2[a{n-1}-n+4/3]=-2b{n-1}.
所以b{n}是公比为-2的等比数列,通项为b{n}=[(-2)^n]b{0}=[(-2)^n][a{0}-n+1/3],从而
a{n}=b{n}+n-1/3=[(-2)^n][a{0}-n+1/3]+n-1/3
1年前
追问
9
基墨
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请问为什么要“令b{n}=a{n}-n+1/3”?
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sulaimanni
基本上是凑出来的。一般这种题都是令b{n}=a{n}+k*n+l,k,l为待定常数,然后代入a{n}的关系式看看取什么k,l能让b{n}成为等比数列。比如这道题b{n}的公比肯定是-2(因为a{n}=-2a{n-1}+...),希望b{n}=-2b{n-1}。然后计算b{n-1}=a{n-1}+k*(n-1)+l, b{n}-[-2b{n-1}]=[a{n}+k*n+l]+2[a{n-1}+k*(n-1)+l]=[a{n}+2a{n-1}]+k*n+l+2k*(n-1)+2l=3(n-1)+k*n+l+2k*(n-1)+2l=(3+3k)n+(-3+3l-2k)。 希望等于0,所以3+3k=0,-3+3l-2k=0,得到k=-1,l=1/3。