（2014•郑州模拟）已知函数f（x）=ex-2x（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）∵f（x）=e^x-2x，
∴f（0）=1，f′（x）=e^x-2，
∴f′（0）=-1，
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，
当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，ln2），单调增区间是（ln2，+∞）．
（Ⅲ）由题意知∃x∈[[1/2，2]，使f（x）＜mx成立，
即∃x∈[
1
2]，2]，使m＞
ex−2x
x成立，
∴m＞（
ex−2x
x）_min，
令g(x)＝
ex
x−2，则g′（x）=
(x−1)ex
x2，
∴g（x）在[[1/2]，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=e-2，
∴m∈（e-2，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查切线方程的求法，考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和等价转化思想的合理运用．

1年前

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