已知函数f（x）=x+1ex（e为自然对数的底数）．

解题思路：（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，则2φ（x）_min＜φ（x）_max．分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围．

（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=-
x
ex…．（2分）
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…．（4分）
（2）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，则2φ（x）_min＜φ（x）_max．
∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+
1
ex=
x2+(1−t)x+1
ex，
∴φ′（x）=
−(x−t)(x−1)
ex…（6分）
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3-
e
2＞1．…．（8分）
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0．…．（10分）
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增
∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2•
t+1
et＜{1，
3−t
e}（*）
由（1）知，g（t）=2•
t+1
et在[0，1]上单调递减
故
4
e≤2•
t+1
et≤2，而
2
e≤
3−t
e≤
3
e，
∴不等式（*）无解
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-
e
2，+∞），使得命题成立．…（12分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．