设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-2，0），（[2/3]，0），如图

解（1）∵f′(x)＝3ax2+2bx+c，且y＝f′(x)的图象经过点(−2，0)，(
2
3，0)，
∴

−2+
2
3＝−
2b
3a
−2×
2
3＝
c
3a⇒

b＝2a
c＝−4a，
∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由图象可知函数y＝f(x)在(−∞，−2)上单调递减，在(−2，
2
3)上单调递增，在(
2
3，+∞)上单调递减，由f(x)极小值＝f(−2)＝a(−2)3+2a(−2)2−4a(−2)＝−8，解得a＝−1，
∴f（x）=-x³-2x²+4x由（1）得f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x+2）（x-2），
∴f′(x)＝0，则x＝−2或x＝
2
3


x（-∞，-2）-2(−2，
2
3)[2/3](
2
3，+∞)
f'（x）-0+0-
f（x）单调递减-8单调递增[40/27]单调递减

∴函数f(x)的单调递减区间是(−∞，−2)和(
2
3，+∞)，单调递增在区间是(−2，
2
3)，
极小值是−8，极大值是
40
27．
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f(x)min≥m2−14m即可．
由（1）可知函数y＝f(x)在[−3，−2)上单调递减，在(−2，
2
3)上单调递增，在(
2
3，3]上单调递减且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8，
∴f（x）_min=f（3）=-33-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查函数单调，极值和导数之间的关系，利用数形结合或者方程思想是解决本题的关键．