一道证明题,已知A为n阶矩阵,r(A)=r(A^2),证明：（1）AX=0与AAX同解 （2）r(A)=r(A^3)

一道证明题,已知A为n阶矩阵,r(A)=r(A^2),证明：（1）AX=0与AAX同解 （2）r(A)=r(A^3)
第一问我能证到AX=0的解必为AAX=0的解,A满秩时AAX=0的解必为AX=0的解,A不是满秩就不会了.第二问完全不会.
娱乐大虾 1年前 已收到1个回答 举报
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52045204 幼苗

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(1)显然 AX=0 的解是 A^2X=0 的解
因为 r(A)=r(A^2)
所以AX=0的基础解系是A^2X=0的基础解系
故方程组同解.
(2)显然 A^2X=0 的解是 A^3X=0 的解
设X0是A^3X=0的解,则 A^2(AX0)=0
所以AX0是 A^2X=0 的解.
由(1) AX0是AX=0的解
所以 A(AX0)=A^2X0=0
即 X0 也是A^2X=0 的解
所以 A^2X=0 与 A^3X=0 同解
所以 r(A^2)=r(A^3)
所以 r(A)=r(A^3)

1年前

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