（2013•徐州三模）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC＝12r，残缺部分位于过点C的竖直线

如图甲，

设∠DBC=α（0＜α＜
π
2），
则BD＝
3r
2cosα，DC＝
3r
2sinα，
所以S△BDC＝
1
2BD•DC＝
1
2•
3r
2cosα•
3r
2sinα
=[9/16r2sin2α≤
9
16r2，
当且仅当α＝
π
4]时取等号，
此时点D到BC的距离为[3/4r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为
9
16r2．
如图乙，

设∠EOD=θ，则OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE＝
1
2r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[
π
3，
π
2]．
设f(θ)＝
1
2r2(1+cosθ)sinθ，则f′(θ)＝
1
2r2(1+cosθ)(2cosθ−1)，
当θ∈[
π
3，
π
2]时，f'（θ）≤0，所以θ＝
π
3]时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为
3
3
8r2．
因为
3

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；三角形的面积公式．

考点点评： 本题考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了利用三角函数求几何图形的面积，解答此题的关键是把三角形的面积用变量角表示，图形乙中对角的范围的分析不可忽视，此题属中档题．