（2008•天津）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．

解题思路：（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．

（Ⅰ）f'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
当a＝−
10
3时，f'（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，解得x₁=0，x2＝
1
2，x₃=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在(0，
1
2)，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），(
1
2，2)内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解些不等式，得−
8
3≤a≤
8
3．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是[−
8
3，
8
3]．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，从而4x²+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

f(1)≤1
f(−1)≤1，即

b≤−2−a
b≤−2+a，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．