（2014•泉州模拟）设函数f（x）=-xn+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．

解题思路：（Ⅰ）当a=b=n=3时，f（x）=-x³+3x+3，f′（x）=-3x²+3，从而f（x）在（-1，1）递增，在（-∞，-1），（1，+∞）递减，
（Ⅱ）a=b=1且n=2时，h（x）=sinx+x²-x-1，则h′（x）=c0sx+2x-1，令k（x）=h′（x），得h（x）=g（x）-f（x）的最小值h（x）_min=h（0）=-1；
（Ⅲ）∀x∈[-1，1]，有|f（x）|≤[1/2]，从而|f（0）|≤[1/2]，|f（1）|≤[1/2]，|f（-1）|≤[1/2]，解得b=[1/2]，a=0，从而f（x）=-x⁴+[1/2]，经过检验符合题意，设F（x）=f（x）-g（x）=-x⁴+[1/2]-sinx，由F（-2），F（-1），F（0），F（1）且x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x₁，x₂，故x₁+x₂＜0．

解；（Ⅰ）当a=b=n=3时，f（x）=-x³+3x+3，f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）在（-1，1）递增，在（-∞，-1），（1，+∞）递减，
（Ⅱ）a=b=1且n=2时，h（x）=sinx+x²-x-1，
则h′（x）=cosx+2x-1，
令k（x）=h′（x），则k′（x）=-sinx+2，
∵k′（x）＞0，∴k（x）在R上递增，
又k（0）=0，
∴x＞0时，k（x）=h′（x）＞h′（0）=0，h（x）在（0，+∞）递增，
x＜0时，k（x）=h′（x）＜h′（0）=0，h（x）在（-∞，0）递减，
∴h（x）=g（x）-f（x）的最小值h（x）_min=h（0）=-1；
（Ⅲ）∵∀x∈[-1，1]，有|f（x）|≤[1/2]，
∴|f（0）|≤[1/2]，|f（1）|≤[1/2]，|f（-1）|≤[1/2]，
∴

−
1
2≤b≤
1
2，①

1
2≤a+b≤
3
2，②

1
2≤−a+b≤
3
2③，
由②+③得[1/2]≤b≤[3/2]，④，再由①④得b=[1/2]，∴a=0，
∴f（x）=-x⁴+[1/2]，经过检验符合题意，
设F（x）=f（x）-g（x）=-x⁴+[1/2]-sinx，
∵F（-2）=-16+[1/2]-sin（-2）＜0，
F（-1）=sin1-[1/2]＞sin[π/6]-[1/2]=0，
F（0）=[1/2]-sin0＞0，
F（1）=-[1/2]-sin1＜0，
∵x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x₁，x₂，
∴-2＜x₁＜-1，0

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考察了函数，导数，函数的零点，考察推理论证能力，运算求解能力，考察函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，是一道综合题．