已知椭圆x23+y2＝1的一个顶点A（0，-1），是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于两个不同的点M，

y=kx+b为MN所在直线方程，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点C（x₃，y₃），
则x₃=
x1+x2
2，y₃=
y1+y2
2，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0，
则x₁+x₂=-[6kb
1+3k2，
∴x₃=-
3kb
1+3k2，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=-
6k2b
1+3k2+2b，
整理得y₃=
b
1+3k2，
∴C（-
3kb
1+3k2，
b
1+3k2），
∵|MA|=|AN|，
∴C点在MN的垂直平分线上，
∴
k(
b
1+3k2+1)

−3kb
1+3k2=-1，
解得b=
3k2+1/2]，
∵x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0的判别式要大于0，
∴36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）＞0
整理得3k²-b²+1＞0把b²换成（
3k2+1
2）²
整理得3k⁴-2k²-1＜0即（3k²+1）（k²-1）＜0
∵3k²+1＞0，
∴k²-1＜0，解得k∈（-1，1）．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查满足条件的直线是否存在的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

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