（2008•崇明县二模）等差数列{bn}的首项为1，公差为2，数列{an}与{bn}且满足关系式bn＝a1+2a2+3a

解题思路：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，设x＞0则-x＜0，将其代入小于0的解析式，根据奇函数的性质求出大于0的解析式；
（2）当n=1时，a₁=b₁=1，当n≥2时，利用递推关系作差即可即可求出a_n的通项公式；
（3）根据函数的定义域为R求出p的范围，由于a_n＞0，

lim

n→∞

f(an)＝0，所以3^3q＞1，即q＞0，从而求出p+q必须满足的条件．

（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0当x＞0时，f(x)＝−f(−x)＝
3−qx
3−qx+p−1＝
1
(p−1)•3qx+1
所以f（x）=

−
3qx
3qx+p−1x＜0
0 x＝0

1
(p−1)•3qx+1x＞0

（2）当n=1时，a₁=b₁=1；
当n≥2时，由于
n(n+1)
2bn＝a1+2a2+3a3+…+nan，所以
(n−1)n
2bn−1＝a1+2a2+3a3+…+(n−1)an−1
相减计算得a_n=3n-2
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=

−
3qx
3qx+p−1x＜0
0 x＝0

1
(p−1)•3qx+1x＞0的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以
lim
n→∞f(an)＝
lim
n→∞
1
(p−1)•3−2(33q)n+1＝



1

0＜33q＜1

9
p+8

33q＝1
0

33q＞1
由于
lim
n→∞f(an)＝0，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．

点评：
本题考点： 数列的极限；数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合应用，以及函数奇偶性以及数列的极限等有关知识，属于中档题．