已知数列{an}是等比数列，其中a3=1，a4，a5+1，a6成等差数列，数列{anbn}的前n项和Sn=（n-1）2n

解题思路：（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=1，知a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．由a₄，a₅+1，a₆成等差数列，能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）用数学归纳法证明如下：①当n=3时，左边=T3−

1

4

＝(

1

4

+

1

2

+

1

3

)−

1

4

＝

1

2

+

1

3

＝

5

6

．右边=

1

2

log23．由2⁵＞3³，知不等式成立．②假设n=k（k≥3）时不等式成立．即

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

1

2

log2k．那么当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

1

2

log2k+

1

k+1

，要证n=k+1时不等式也成立，只需证：(

k+1

k

)k+1＜4，由此能证明当n=k+1时不等式也成立．综合①②可知：当n≥3时，Tn−

1

4

＞

1

2

log2n．

（1）设{a_n}的公比为q，
∵a₃=1，
∴a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．
∵a₄，a₅+1，a₆成等差数列，
∴2（q²+1）=q+q³，
解得q=2．（2分）
∴a_n=a₃q^n-3=2^n-3． （3分）
当n=1时，
a1
b1＝S1＝1，
∴b1＝a1＝
1
4．（4分）
当n≥2时，
an
bn＝Sn−Sn−1＝n•2n−3，
∴bn＝


1
4n＝1

1
nn≥2（6分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=3时，左边=T3−
1
4＝(
1
4+
1
2+
1
3)−
1
4＝
1
2+
1
3＝
5
6．
右边=
1
2log23
∵2⁵＞3³，
∴2
5
6＞3
1
2，
∴log22
5
6＞log23
1

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的应用．

考点点评： 本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．