已知a、b、c满足a2+b2+c2=1，a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)＝−3，那么a+b+c的值为

解题思路：由a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

a

+

1

c

)+c(

1

a

+

1

b

)＝−3，那么（a+b+c）（[1/a]+[1/b]+[1/c]）=0，即可求解．

由a(
1
b+
1
c)+b(
1
a+
1
c)+c(
1
a+
1
b)＝−3，那么（a+b+c）（[1/a]+[1/b]+[1/c]）=0，
∴a+b+c=0或[1/a]+[1/b]+[1/c]=0，
当[1/a]+[1/b]+[1/c]=0时，ab+bc+ac=0，
∵a、b、c满足a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，
∴a+b+c=±1，
故答案为：0或1或-1．

点评：
本题考点： 分式的化简求值．

考点点评： 本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)＝−3变形为（a+b+c）（[1/a]+[1/b]+[1/c]）=0．

11

因为(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)+3=0
所以a+b+c=0或者
1/a+1/b+1/c=0
若1/a+1/b+1/c=0 推出ab+ac+bc=0 又推出(a+b+c)^2=1
所以a+b+c=-1或1或0

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