如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．

（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以[EF/AF＝
EO
AD]，
而EO=AO=[1/2]AB=[1/2]AD，即[FE/FA]=[1/2]；
（2）由△OEF∽△DAF，得[EF/AF]=[OE/DA]=[OE/AB]=[1/2]，
即AF=2EF，又EF²=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=[1/2]AB+BF=10．
cos∠F=[EF/FO]=[4/5]；
（3）由△BEF∽△EAF，得 [BE/EA]=[EF/AF]=[8/16]=[1/2]，
设BE=k，则AE=2k，
由AE²+BE²=AB²，得
（2k）²+k²=12²，
解得k=
12
5
5，
故BE=
12
5
5．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；切割线定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质以及锐角三角函数的定义等知识点．解题的关键在于根据已知条件找到相似三角形．

1年前

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