如图在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O为坐标原点,B在x轴正半轴上,A在第一象限．OA和AB的长是方程 x2-35x
如图在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O为坐标原点,B在x轴正半轴上,A在第一象限．OA和AB的长是方程 x2-35x+10=0两根,且OA＜AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上,且不与点B重合,点D在线段AB上）,使点B落在x轴上,对应点为E,设点C的坐标为（x,0）．
①是否存在这样的点C,使得△AED为直角三角形?若存在,求出点C的坐标；若不存在,请说明理由；
②设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S,直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．
图片
3根号5
（1）求直线AB的解析式；
（2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上,且不与点B重合,点D在线段AB上）,使点B落在x轴上,对应点为E,设点C的坐标为（x,0）．
①是否存在这样的点C,使得△AED为直角三角形?若存在,求出点C的坐标；若不存在,请说明理由；
②设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S,直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．
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（1）解方程 x2-35x+10=0得两根为 x1=5,x2=25
因为OA和AB的长是方程 x2-35x+10=0两根,且OA＜AB
所以 OA=5,AB=25
而∠BAO=90°,则 OB=(5)2+(25)2=5OB=(5)2+(25)2=5
作AF⊥x轴于F,如图
则 AF=OA•ABOB=5•255=2
那么 OF=(5)2-22=1
∴A（1,2）,B（5,0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有 {k+b=25k+b=0{k+b=25k+b=0,
解得 {k=-12b=52．
∴直线AB的解析式为y=- 12x+ 52．
（2）①存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时,点E与原点O重合,如图．
∵OC=BC= 12OB= 52
∴C1（ 52,0）；
ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时,如图,过点A作AF⊥x轴于F．OF=1．
∵∠AED=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC,
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°,
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形,
∴OE=2OF=2,
∴BE=3．
∴EC= 32,
∴OC=OE+EC=2+ 32= 72．
∴C2（ 72,0）．
综上所述,存在这样的点C,使得△AED为直角三角形,点C的坐标为：
C1（ 32,0）和C2（ 72,0）．
②当1≤x＜ 52时,△CDE与△AOB重叠部分的面积即为△CDE的面积,由直角三角形的面积公式即可求解；
S与x之间的函数关系式如下：
S= {-1312x2+5012x-2512(1≤x＜52)14x2-52x+254(52≤x＜5)．
因为OA和AB的长是方程 x2-35x+10=0两根,且OA＜AB
所以 OA=5,AB=25
而∠BAO=90°,则 OB=(5)2+(25)2=5OB=(5)2+(25)2=5
作AF⊥x轴于F,如图
则 AF=OA•ABOB=5•255=2
那么 OF=(5)2-22=1
∴A（1,2）,B（5,0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有 {k+b=25k+b=0{k+b=25k+b=0,
解得 {k=-12b=52．
∴直线AB的解析式为y=- 12x+ 52．
（2）①存在．
分两种情况讨论：
ⅰ）当Rt△AED以点A为直角顶点时,点E与原点O重合,如图．
∵OC=BC= 12OB= 52
∴C1（ 52,0）；
ⅱ）当Rt△AED以点E为直角顶点时,如图,过点A作AF⊥x轴于F．OF=1．
∵∠AED=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC,
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°,
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形,
∴OE=2OF=2,
∴BE=3．
∴EC= 32,
∴OC=OE+EC=2+ 32= 72．
∴C2（ 72,0）．
综上所述,存在这样的点C,使得△AED为直角三角形,点C的坐标为：
C1（ 32,0）和C2（ 72,0）．
②当1≤x＜ 52时,△CDE与△AOB重叠部分的面积即为△CDE的面积,由直角三角形的面积公式即可求解；
S与x之间的函数关系式如下：
S= {-1312x2+5012x-2512(1≤x＜52)14x2-52x+254(52≤x＜5)．
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