（2014•历下区一模）如图，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿点BA向点A
（2014•历下区一模）如图，已知△ABC中，AB=1Ocm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿点BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，P点速度为2cm/s，Q点速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设四边形PQCB的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取最小值，并求出最小值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ怡好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）证△APQ∽△ABC，推出 [AP/AB]=[AQ/AC]，代入得出 [10−2t/10]=[t/8]，求出方程的解即可；
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程 [10−2t/10]=[PD/6]，求出PD=[3/5]（10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-[6/5]t2+6t=[1/2]×[1/2]×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程 [10−2t/10]=[PD/6]，求出PD=[3/5]（10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-[6/5]t2+6t=[1/2]×[1/2]×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴[AP/AB]=[AQ/AC]，
∴[10−2t/10]=[t/8]，
t=[40/13]，
即当t为[40/13]s时，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴[AP/AB]=[PD/BC]，
∴[10−2t/10]=[PD/6]，
PD=[3/5]（10-2t），
∴S△APQ=[1/2]AQ•PD=[1/2]•t•[3/5]（10-2t）=-[3/5]t2+3t，
∴S=S△ABC-S△APQ=[1/2]×8×6-（-[3/5]t2+3t）=[3/5]t2-3t+24=[3/5]（t-[5/2]）2+[81/4]，
当t=[5/2]秒时，S的最小值是[81/4]cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S△APQ=[1/2]S△ABC
即-[3/5]t2+3t=[1/2]×[1/2]×8×6
t2-5t+20=0，
∵△=52-4×1×20=-55＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．
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