在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y= 1 4 x 2 ．实数p，q满足p 2 -4q≥0，x 1 ，x 2 是方

（1）k _AB =y′| _x=p0 =
1
2 p ₀ ，
直线AB的方程为y-
1
4 p ₀ ² =
1
2 p ₀ （x-p ₀ ），即y=
1
2 p ₀ x-
1
4 p ₀ ² ，
∴q=
1
2 p ₀ p-
1
4 p ₀ ² ，方程x ² -px+q=0的判别式△=p ² -4q=（p-p ₀ ） ² ，
两根x _1，2 =
p±| p 0 -p|
2 =
p 0
2 或p-
p 0
2 ，
而|p-
p 0
2 |=||p|-|
p 0
2 ||，又0≤|p|≤|p ₀ |，
∴ -|
p 0
2 |≤|p| -|
p 0
2 |≤|
p 0
2 | ，得|p-
p 0
2 |=||p|-|
p 0
2 || ≤|
p 0
2 | ，
∴φ（p，q）=
|p 0 |
2 ；

（2）由a ² -4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p ₁ ＞p ₂ ≥0，
得|p ₁ |＞|p ₂ |；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X⇔|P ₁ |＜|P ₂ |．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p ₁ ＞0＞p ₂ ，
且|p ₁ |＞|p ₂ |；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X⇔|P ₁ |＜|P ₂ |．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X⇔|P ₁ |＜|P ₂ |．
综上所述，M（a，b）∈X⇔|P ₁ |＜|P ₂ |． （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x ² -ax+b=0的两根x _1，2 =
p 0
2 或a-
p 0
2 ，
同理知点M在直线E′F′上，方程x ² -ax+b=0的两根x _1，2 =
p 0
2 或a-
p 0
2 ，
若φ（a，b）=
| p 1 |
2 ，则
| p 1 |
2 不比|a-
p 1
2 |、
| p 2 |
2 、|a-
p 2
2 |小，
∴|p ₁ |＞|p ₂ |；又|p ₁ |＞|p ₂ |⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=
|p 1 |
2 ⇒M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=
|p 1 |
2 ；
∴M（a，b）∈X⇔φ（p，q）=
|p 1 |
2 ，综合（*）式，得证．

（3）联立y=x-1，y=
1
4 （x+1） ² -
5
4 得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x ₀ ，
1
4 x ₀ ² ），则

1
4 x 0 2 -q
x 0 -q =
1
2 x 0 ，
得x ₀ ² -2px ₀ +4q=0，解得x ₀ =p+
p 2 -4q ，
又q≥
1
4 （p+1） ² -
5
4 ，即p ² -4q≤4-2p，
x ₀ ≤p+
4 -2p ，设
4 -2p =t，x ₀ ≤ -
1
2 t 2 +t+2 = -
1
2 (t-1) 2 +
5
2 ≤
5
2 ，
∴φ _max =
5
4 ；
而x ₀ ≥p+
p 2 -4p+4 =p+|p-2|=2，
∴φ _min =
| x 0 |
2 =1．