求助一个线性代数的问题设Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个

证明：
（1）假设Q,X1,X2.X(n-r)线性相关
则存在一组不全为0的数a(0),a(1)...a(n-r)使得
a(0)Q+a(1)x1+...a(n-r)X(n-r)=0——(i)
两边左乘A得
a(0)AQ+a(1)AX1+...a(n-r)AX(n-r)=0
由于X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系
即AXi=0(i=1,2...n-r)
Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,AQ=b
于是a(0)b=0,由于b≠0,于是a(0)=0
代入(i)得a(1)x1+...a(n-r)X(n-r)=0
又根据X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,即X1,X2,...X(n-r)线性无关,所以满足上式的条件只能是a(1)=a(2)=...a(n-r)=0
这与a(0),a(1)...a(n-r)不全为0矛盾
因此Q,X1,X2.X(n-r)线性无关
(2)假设Q,X1+Q,X2+Q.X(n-r)+Q线性相关
则存在一组不全为0的数b(0),b(1)...b(n-r)使得
b(0)Q+b(1)(x1+Q)+...b(n-r)(X(n-r)+Q)=0
(b(0)+b(1)...b(n-r))Q+b(1)x1+...b(n-r)X(n-r)=0——(ii)
两边左乘A得
(b(0)+b(1)...b(n-r))AQ+b(1)AX1+...b(n-r)AX(n-r)=0
由于X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系
即AXi=0(i=1,2...n-r)
Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,AQ=b
于是b(0)b=0,由于b≠0,于是
b(0)+b(1)...b(n-r)=0——(iii)
代入(ii)得b(1)x1+...b(n-r)X(n-r)=0
又根据X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,即X1,X2,...X(n-r)线性无关,所以满足上式的条件只能是b(1)=b(2)=...b(n-r)=0
再代入(iii)得b(0)=0
这与b(0),b(1)...b(n-r)不全为0矛盾
因此Q,X1,X2.X(n-r)线性无关

1·令kQ+k1*X1+k2*X2+……+k(n-r)*X(n-r)=0
A[kQ+k1*X1+……+k(n-r)*X(n-r)]
=kAQ+k1*AX1+k2*AX2....+k(n-r)*AX(n-r)=kb=0
b不等于0,故k=0，k1*X1+k2*X2+……+k(n-r)*X(n-r)=0
而基础解系是线性无关组，即ki=0 (i=1,2,……,n-r)

比较赞同“月随”的解答，
这样的问题，用反证法最好不过。

(1)X1,X2,...X(n-r)是基础解系，显然线性无关。
如果向量组X1,X2,...X(n-r)添加Q后线性相关，说明Q可以写成
Q=a1*X1+a2*X2+...a(n-r)*X(n-r)
两边用A左乘，得到
b=0, 矛盾!
(2)利用(1)，因为Xi=(Q+Xi)-Q，也就是(1)的向量组可以被(2)的向量组线性表示，所以(2)...