（2014•长沙一模）如图，顶点为A（1，4）的抛物线与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C，D两点，抛物线上一动点P沿
（2014•长沙一模）如图，顶点为A（1，4）的抛物线与y轴交于点B（0，2），与x轴交于C，D两点，抛物线上一动点P沿抛物线从点C向点A运动，点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q，分别过点P，Q向x轴作垂线，垂足分别为点M，N．抛物线对称轴与x轴相交于点E．（1）求此抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACE与△PMQ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，由已知条件可知，h和k的值，再把B的坐标代入求出a的值即可；
（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1-t，4-2t2），由抛物线的对称性可求出点Q的坐标为（1+t，4-2t2），再分两种情况△ACE∽△PMQ或△ACE∽△QMP讨论求出符合题意的t值即可．
（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1-t，4-2t2），由抛物线的对称性可求出点Q的坐标为（1+t，4-2t2），再分两种情况△ACE∽△PMQ或△ACE∽△QMP讨论求出符合题意的t值即可．
（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，
∵顶点为A（1，4）
∴此抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，
将点B（0，2）代入可求得：a=-2，
∴此抛物线的解析式为：y=-2（x-1）2+4=-2x2+4x+2．
（2）假设存在点P，使得△ACE与△PMQ相似，不妨设点P（1-t，4-2t2），
根据对称性可得，点Q的坐标为（1+t，4-2t2），
令y=4-2（x-1）2=0，
解得到：x=1±
2，
从而有：C（1-
2），D（1+
2，0）
所以：0＜t＜
2，
由于△ACE与△PMQ相似，
则必有：[PM/PQ＝
AE
CE]或[PM/PQ＝
CE
AE]，
当[PM/PQ＝
AE
CE]得到
4−2t2
2t＝
4
2，
解得t=2-
2或-2-
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
1年前
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