如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC
| 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3。 |
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| （1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标； （2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程； （3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 （4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式。 |
赞 玻璃米妮 幼苗
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（1）依题意，
在
中，
∴
∵
∴
而
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴点D，E的坐标分别为
。
（2）设抛物线的解析式为
∵抛物线过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
对称轴的方程为
∴对称轴的方程为
。
（3）存在这样的点P，使
的内心在坐标轴上
①若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴点M的坐标为（5，0）
∴直线PH的解析式为y=-x+5
解方程组
，得
，
∴点P的坐标为（7，-2）。
②若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N，
∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴点N的坐标为（0，-5），
∴直线FN的解析式为y=-x-5
解方程组
，得
，
∴点P的坐标为（12，-17）
综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）。
（4）点Q的坐标为
，直线
的解析式为y=-3x+5。
在
中，
∴
∵
∴
而
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴点D，E的坐标分别为
。（2）设抛物线的解析式为
∵抛物线过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
对称轴的方程为
∴对称轴的方程为
。（3）存在这样的点P，使
的内心在坐标轴上①若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴点M的坐标为（5，0）
∴直线PH的解析式为y=-x+5
解方程组
，得
，
∴点P的坐标为（7，-2）。
②若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N，
∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴点N的坐标为（0，-5），
∴直线FN的解析式为y=-x-5
解方程组
，得
，
∴点P的坐标为（12，-17）
综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）。
（4）点Q的坐标为
，直线
的解析式为y=-3x+5。
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