已知向量组a1=(1,1,3,1),a2=(1,3,-1,-5),a3=(2,6,-a,10),a4=（3,1,15,1

(α1,α2,α3,α4,β)=
1 1 2 3 1
1 3 6 1 3
3 -1 -a 15 3
1 -5 -10 12 b
r3-r1-r2-r4, r2-r1,r4-r1
1 1 2 3 1
0 2 4 -2 2
0 0 -a+2 -1 -b-1
0 -6 -12 9 b-1
r2*(1/2),r1-r2,r4+6r2
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 -a+2 -1 -b-1
0 0 0 3 b+5
(1)当 a≠2时, r(A,b)=r(A)=4, β可由α1,α2,α3,α4唯一线性表示
(3)此时向量组α1,α2,α3,α4线性无关.
当 a=2时,
r4+3r3
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 0 -1 b-1
0 0 0 0 -2b+2
此时, 若 b≠1, r(A,b)=3, r(A)=4 β不能由α1,α2,α3,α4线性表示
(4)且 α1,α2,α3,α4 线性相关, 秩为3, α1,α2,α4 是一个极大无关组
当b=1时
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 0 -1 -2
0 0 0 0 0
r1+4r3,r2-r3,r3*(-1)
1 0 0 0 -8
0 1 2 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
r(A,b)=r(A)=3<4, β可由α1,α2,α3,α4线性表示,且表示法不唯一
方程组的全部解为: (-8,3,0,2)'+c(0,-2,1,0)'=(-8,3-2c,c,2)'
所以 β=-8α1+(3-2c)α2+cα3+2α4