寒楼木子 幼苗
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(1)依题意有2e-f(e)-e=0,∴f(e)=e
∵f(x)=ax•lnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=ax•lnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx…(4分)
(2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分)
h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=ln[x/t−x]…(6分)
由h′(x)>0得[t/2<x<t;h′(x)<0得0<x<
t
2]…(8分)
∴h(x)在(
t
2,t)上是增函数,在(0,[t/2])上是减函数
∴h(x)min=h([t/2])=tln[t/2]…(10分)
(3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x)
由(2)知,h(x)min=h([t/2])=tln[t/2],∴t=6,h(x)min=h(3)=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,
∴ln(k2-72k)≤ln729
∴
k2−72k>0
k2−72k≤729
∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分)
故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查恒成立问题,解题的关键是正确求导,确定函数的单调性,属于中档题.
1年前
(2012•黄冈模拟)已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
1年前1个回答
你能帮帮他们吗