设对于任意的实数x，y，函数f（x），g（x）满足f（x+1）=[1/3]f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x

解题思路：（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=[1/3]f（n），故数列{f（n）}等比数列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故数列{g（n）}是等差数列，进而得到答案．
（Ⅱ）由题意可得：C_n=n(

1

3

)n−1+3，然后利用错位相减的方法求出数列的前n项和为Sn＝

9

4

+3n−

2n+3

4

(

1

3

)n−1．
（Ⅲ）因为F（n）=S_n-3n，所以F（n）=Sn＝

9

4

−

2n+3

4

(

1

3

)n−1，利用增函数的定义判断出数列是增数列，所以F（n）的最小值为F（1）=1．由极限的思想可得F（n）＜[9/4]，所以1≤F（n）＜[9/4]．因此当m＜1且M≥[9/4]时，不等式m＜F（n）＜M恒成立，进而得到答案．

（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=[1/3]f（n），取x=0，f（1）=[1/3]f（0）=1
故数列{f（n）}是首项是1，公比为[1/3]的等比数列，所以f（n）=(
1
3)n−1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2（n∈N），即g（n+1）-g（n）=2，
故数列{g（n）}是公差为2的等差数列，又g（5）=13，
所以g（n）=2n+3．
（Ⅱ）由题意可得：C_n=g[[n/2]f（n）]=n(
1
3)n−1+3，
所以S_n；=1+2×[1/3]+3×（[1/3]）²+…+n×（[1/3]）^n-1+3n…①
[1/3]S_n=[1/3]+2×（[1/3]）²+3×（[1/3]）³+…+n×（[1/3]）ⁿ+n…②，
所以①-②可得：
[2/3Sn=1+
1
3]+（[1/3]）²+（[1/3]）³+…+（[1/3]）^n-1-n×（[1/3]）ⁿ+2n=
3
2[1−(
1
3)n]−n(
1
3)n+2n，
所以Sn＝
9
4+3n−
2n+3
4(
1
3)n−1．
所以数列{C_n}的前项和Sn＝

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 解决此类问题的关键是利用函数的赋值法求出数列的通项公式，数列掌握数列求出的方法以及求数列和的最值的方法，此题是数列与函数与不等式的综合题型属于难题．