圆锥曲线关于椭圆的一道典型题过椭圆 5分之x的平方+4分之y的平方=1 的左焦点做椭圆的弦,求弦中点的轨迹方程.

a²=5
b²=4
所以c²=5-4=1
c=1
所以F(-1,0)
若斜率不存在,x=-1
则中点是(-1,0)
斜率存在
是y=k(x+1)=kx+k
代入4x²+5y²=20
(4+5k²)x+10k²x+5k²-20=0
x1+x2=-10k²/(4+5k²)
y=kx+k
所以y1+y2=kx1+k+kx2+k=k(x1+x2)+2k=8k/(4+5k²)
中点M(x,y)
则x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
x/y=-5k/4
因为y=k(x+1)
k=y/(x+1)
x/y=-5y/[4(x+1)
4x²+4x+5y²=0
斜率不存在的(-1,0)也符合
所以4x²+4x+5y²=0