已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R，若函数F（x）=f（x

解题思路：因F（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，先求导数：F′（x），因F（x）在区间（0，3）上不单调，得到F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出k，最后再利用导数求出此函数的值域即可；

因F（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
F′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
因F（x）在区间（0，3）上不单调，
所以F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由F′（x）=0得k（2x+1）=-（3x²-2x+5），
∴k=-
3x2−2x+5
2x+1=−
3
4[（2x+1）+[9/2x+1−
10
3]]，
令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）=t+[9/t]，
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以有h（t）∈[6，10），于是（2x+1）+[9/2x+1]∈[6，10）
得k∈（-5，-2]，而当k=-2时有F′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
故选：D．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．

（1）p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，
P '（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）
因为p（x）在（0，3）上不单调，
所以p'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由p'（x）=0，得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）
即
令t=2x+1，有t∈（1，7），记
则h（t）在（1，3]...

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1年前

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